[수학비타민] 별에서 온 그대, 펜타그램

서울시 서초구

저는 지역 주민들과 공감하고 소통하기 위해 하루 종일 서초의 구석구석을 누비고 다닙니다.

그렇다 보니 서초 로고를 자주 보게 되는데요

그런데 서초 로고가 제 눈에는 별, 오각별로 보입니다.

 

아마 별만큼 사랑과 관심을 받아온 대상도 흔치 않을 것 같은데요

저 별은 나의 별~ 저 별은 너의 별~

 

이처럼 별은 노래에도 자주 등장하고, 문학작품에도 단골로 등장합니다.

알퐁스 도데의 소설 <별>의 한 부분입니다.

‘저 별들 중에 가장 여릿여릿하고 가장 반짝이는 별 하나가

가던 길을 잃고 내게 내려와서는

이 어깨에 기대에 잠든 것이라고요’

 

별은 오각형

즉, 팬타곤의 꼭지점들을 이은 다섯 개의 대각선으로부터 얻을 수 있기에

펜타그램(Pentagram)이라고 합니다.

 

별, 그릴 줄 아시죠?

선분 다섯 개를 이어서 오각별을 만들 수 있습니다.

 

요즘 코딩교육에서 등장하는 거북이를 이용해서 그려보겠습니다.

별을 만들려면 선분 5개를 연결해야 하는데요

거북이가 앞으로 이동하고 회전해서 이동하고 이걸 다섯 번 반복해야 하겠죠.

여기서 중요한 건 회전 각도입니다.

 

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오각별을 만들 때

한 번에 몇 도씩 회전해야 하나요?

 

144도입니다.

내가 거북이가 되었다고 생각하고 이동해보죠.

별을 다 그리고 나면 360도를 두 번 돌아 원래의 위치로 돌아오게 됩니다.

따라서 거북이가 다섯 번 회전하는 동안

360도를 두바퀴 돌아야 하니까

360 곱하기 2 나누기 5= 144도입니다.

 

제가 사용하는 프로그램은 알지오매스입니다.

대수 Algebra, 기하 Geometry, 그리고 수학 Mathematics를 결합시켜 Algeomath라고 했는데

코딩도 가능한 이 소프트웨어가 학생들에게 ‘알죠 math’를 가져다줄 것이라고 믿습니다.

 

알지오메스는 수학교육용 소프트웨어 국산화를 위해

제가 개발 예산 확보 등 노력을 많이 했습니다.

 

홈페이지에 올라온 작품들을 보면

국회에 들어와서 한 가장 보람있는 일이 아닌가 싶습니다.

 

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정오각형에서 만들어지는 펜타그램에는

인간이 가장 아름답다고 인식하는 황금비가 들어있습니다.

정오각형의 한 변과 대각선의 비를 구해보면 약 1:1.618 황금비가 됩니다.

 

또 정오각형의 대각선들은 다른 대각선에 의해 두 부분으로 나뉘는데

그 비를 구해보면 역시 황금비가 됩니다.

 

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황금비가 뭔가요?

 

황금비는 긴 부분과 짧은 부분의 길이 비가

전체와 긴 부분의 길이 비와 같아지는 경우를 말하는데요

 

좀 복잡하게 들리죠.

그러니까 긴 부분 AP와 짧은 부분 PB의 길이의 비는

전체 AB와 긴 부분 AP의 길이의 비와 같아야 합니다.

AP : PB = AB : AP 로 비례식을 세우고 정리하면 이차방정식이 되고

해를 구하면 대략 1.618이 됩니다.

 

다음 중 가장 선호하는 직사각형은 어떤 것인가요?

1860년대 독일의 심리학자 페흐너는 인간이 본능적으로 아름답다고 생각하는 비를 알아내기 위해 실험을 했습니다.

 

가로와 세로의 비가 다른 열 개의 직사각형을 보여주고

가장 선호하는 직사각형을 선택하도록 했습니다.

그 결과 대부분의 사람들은 2:3 5:8 13:23을 선택했습니다.

 

정사각형에 가까우면 딱딱하고 정형화된 느낌이 들고

한쪽이 긴 직사각형은 극단적인 느낌을 주기 때문에

적당히 길고 적당히 짧은 경우를 선택한 거죠.

 

특히 5:8 즉 1.618을 선호하는 비율이 가장 높았는데

이게 바로 황금비죠.

 

이후 유사한 실험이 반복되었는데

황금비가 인간의 심미안을 가장 충실히 만족시킨다는 결과도 있고

그렇지 않다는 결과도 있습니다.

 

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황금비가 오각별에 들어 있다는 사실을 신기하게 생각한 고대 그리스의 피타고라스 학파는

이 팬타그램을 자신들의 상징으로 사용했습니다.

 

오각별은 국기에도 자주 등장하죠.

미국, EU, 터키, 파키스탄 등

많은 나라의 국기가 별을 담고 있습니다.

 

팬타그램은 군사력을 나타내서 군대에서 계급을 별의 개수로 나타내죠.

또 유명인을 반짝반짝 스타에 비유하기도 합니다.

 

오늘은 별에 담긴 수학을 살펴봤습니다.

제가 사는 서초가 별처럼 빛날 수 있도록 최선을 다하겠습니다.

오늘도 별처럼 반짝이는 하루 되세요.

 

커밍~ 쑨!