[수학비타민] 윷놀이 필승법

윷놀이, 구정과 정월대보름 사이에 많이들 하시죠.

저도 요즘 서초 지역에 척사대회 다니느라고 바쁜데요

오늘은 경우의 수를 이용해서 윷놀이의 확률을 구해보겠습니다.

 

확률은 일어나는 모든 경우의 수 분에

특정 사건이 일어나는 경우의 수죠.

 

쉬운 예를 들면 동전에는 앞면과 뒷면이 있으니까

일어나는 경우의 수는 2이고

따라서 앞면과 뒷면이 나올 확률은 1/2씩이죠.

 

이제 윷놀이로 가볼까요?

윷가락을 던졌을 때 곡면, 등이 나오거나

혹은 평면, 배 나오는 2가지 경우가 있죠.

 

이런 윷가락을 4개 던지니까 일어날 수 있는 경우의 수는

2x2x2x2 해서 16이죠.

우선 등과 배가 나올 확률이 똑같이 1/2이라고 해보죠.

도는 4개 중 하나의 ‘배’가 나오는 거니까 4가지 경우가 있겠죠, 따라서 도의 확률은 4/16

걸은 4 개중 하나의 ‘등’이 나오는 거니까 ‘걸’의 확률 역시 4/16

개는 4개중 2개는 등, 2개는 배가 나오는 거죠.

윷가락에 1부터 4까지 번호를 붙여보면

4개 중 2개의 등이 나오는 경우는 1-2 1-3 1-4 2-3 2-4 3-4총 6가지

따라서 ‘개’의 확률은 6/16이 됩니다.

윷과 모는 한 가지 경우밖에 없으니까 확률은 1/16

 

정리해보면 개의 확률이 가장 높고 6/16

그다음 도와 걸, 그리고 윷과 모의 확률이 가장 낮죠.

개(6/16)>도(4/16)=걸(4/16)>윷(1/16)=모(1/16)

 

그런데 실제 윷놀이 경험과는 좀 다르죠?

배와 등이 나올 확률이 같이 않기 때문인데요

윷가락의 단면은 반원보다 약간 더 원에 가까운 형태이기 때문에

배가 나올 확률이 높습니다.

윷을 깎는 모양에 따라, 또 던지느냐 굴리느냐에 따라 차이가 있겠지만

걸릴 확률을 3/5으로 놓고 확률을 구해보면

개와 걸일 확률이 가장 높고, 도 윷 모의 순서로 확률이 낮아지게 됩니다.

개=걸>도>윷>모

 

확률하면 주사위

주사위 하면 정육면체를 떠올리게 되는데요,

우선 정육면체는 6개의 면이 합동이기 때문에 각 면이 나올 확률이 같습니다.

그렇다면 주사위가 반드시 정육면체일 필요는 없죠.

다른 정다면체, 그러니까 정4면체, 정8면체, 정12면체, 정20면체도 모두 주사위의 기능을 할 수 있습니다.

 

신라시대에는 ‘목제주령구’라고 하는 독특한 주사위가 사용되기도 했는데요,

6개의 정사각형과 8개의 육각형으로 구성된 14면체로 경주 안압지에서 출토됐습니다.

‘목제주령구’에서 정사각형 면과 육각형 면의 넓이가 거의 같습니다.

따라서 각 면이 나올 확률이 비슷한 거죠.

이처럼 독창적인 모양의 주사위를 만들어낸 선조들의 창의성에 감탄하게 됩니다.

 

또 하나 우리 조상들이 풍류를 즐기는 면도 확인할 수 있는데요

목제주령구 각 면에는 벌칙이 적혀 있어요.

금성작무_노래 없이 춤추기.

금성_소리를 금하고, 작무_춤을 춘다.

삼잔일거_술 석잔을 한 번에 마시기.

삼잔_세잔을, 일거_한 번에 마신다.

재미있죠?

 

경주 특산품으로 주령구 모양의 빵도 있다고 하네요.

경주에 가면 한 번 먹어봐야겠습니다.

 

 

Q. 로또에 당첨될 확률은 어떻게 구하나요?

확률하면 복권이 빠질 수 없죠.

대표적인 복권이 로또 6/45

1부터 45까지의 숫자 중에서 6개를 선택하는 복권이죠.

1등에 당첨되려면 6개의 숫자를 모두 맞추어야 합니다.

확률을 구해보기 위해서는 45개의 수에서 6개를 선택하는 경우의 수부터 알아봐야 하는데요

장장 8,145,060 이나 됩니다.

이게 얼마큼 희박한 확률인가 하면요

매주 10장씩 로또 사는 것을 약 16,000년 동안 계속하면 확률적으로 1등에 당첨될 수 있습니다.

 

이처럼 당첨 가능성이 워낙 낮다 보니까, 로또 당첨 숫자를 찍는 비법들이 횡행하고

1등 배출점은 로또 명당으로 인기를 끌기도 하죠.

1회부터 가장 최근 841회까지 당첨 번호를 보면

가장 빈도가 높은 숫자는 34로 131번 나왔습니다.

그에 반해 가장 빈도가 낮은 숫자는 9인데, 88번밖에 나오지 않았고요

 

 

Q. 그럼 가장 적게 나온 9를 고르면 당첨 확률이 높아지겠네요?

확률에 ‘큰 수의 법칙’이라는 게 있습니다.

예를 들어 주사위 1부터 6까지 나올 확률은 1/6씩이죠.

주사위를 30번 정도 던진다, 그러면 5번씩 나오지는 않습니다.

특정 번호가 좀 더 많이 나오기도 하고, 적게 나오기도 하죠.

 

그렇지만 주사위 던지는 걸 천 번이나 만 번 정도 하면

각 눈이 나올 확률은 1/6에 수렴하게 됩니다.

 

이처럼 시행 횟수를 늘리면 통계적 확률이 수학적 확률에 가까워진다는 게

큰 수의 법칙입니다.

그러면 1부터 45까지 당첨 번호가 될 확률은

수학적 확률에 가까워져야 하니까, 지금까지 드물게 나왔던 숫자는 앞으로 더 빈번하게 나와야 한다고 생각할 수 있습니다.

그렇지만 당첨 번호의 선택은 이전 결과와 무관한 독립시행이기 때문에

1부터 45까지의 숫자가 당첨 번호가 될 확률은 항상 1/45입니다.

 

프랑스의 수학자 ‘조셉 베르트랑’은 확률의 무작위성을 강조하기 위해

룰렛의 바퀴는 양심도 기억도 없다는 말을 남기기도 했죠.

 

복권 판매 금액은 모두 상금에 할당되는 게 아니라

일부는 공익을 위하여 사용됩니다.

‘나눔 Lotto’라는 명칭도 그런 의미일 텐데요

 

만약 오늘 복권을 사둔다면

행운을 바라는 마음 한 켠에

또 다른 한 켠에는 의무적인 세금이 아니라

선택적인 세금을 낸다고 생각하시죠.

그러면 복권 추첨 후의 실망이 훨씬 가벼울 것 같습니다.

 

다음에도 기대해주세요.

커밍~ 쑨!