[수학비타민] 도넛과 컵은 같은 모양이다

1991년 발표된 마이클 잭슨의 black or white

빌보드차트에서 7주 동안 1위를 했는데요

흑인이건 백인이건 똑같은 사람이라며 인종차별 금지 메시지를 전하고 있습니다.

 

실제 인간 대부분은 위상적으로 동형입니다.

오늘은 위상수학이라는게 뭔지 알아겠습니다.

 

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쾨니히스베르그(Königsberg)는 철학자 칸트가 평생을 지낸 도시로 유명합니다.

칸트는 매일 같은 시간에 산책을 했기 때문에 사람들은 칸트를 보고 시계를 맞췄다는 일화가 전해옵니다.

 

쾨니히스베르그는 스펠링에 움라우트가 있어 독일인가 하시겠지만

현재는 러시아의 영토로 러시아식이름은 칼리닌그라드입니다.

특이하게도 러시아 본토와 붙어있지 않고, 폴란드와 리투아니아 사이에 위치합니다.

 

쾨니히스베르그는 도시를 관통하는 프레겔 강에 의해 4지역으로 나뉘어 있고

이 지역을 잇는 일곱 개의 다리가 있었습니다.

당시 사람들은 같은 다리를 두 번 건너지 않고 7개의 다리를 모두 건널 수 있는지를 궁금해 했는데

이를 쾨니히스베르그의 다리 문제라고 합니다.

 

이건 연필을 떼지 않고 한 번에 그리는 ‘한붓그리기’를 할 수 있는가?

그러니까 일필휘지(一筆揮之)로 단번에 쓰는 것이 가능한가의 문제가 되는 거죠.

 

잠깐 한붓그리기를 해 보실까요?

정답은 불가능하다입니다.

 

당시 한붓그리기가 불가능하다는 것은 알았지만

그 이유를 명쾌하게 설명하지 못했습니다.

이를 수학적으로 증명한 사람이 ‘오일러’

박경미 TV에 참 자주 등장하는 18세기 수학자죠.

 

자, 그럼 한붓그리기가 가능한 조건이 뭔지 알아볼까요?

한 점에 연결된 변의 개수가 홀수일 때를 홀수점이라고 하는데

한붓그리가 가능하기 위해서는 홀수점이 없거나 2개여야 합니다.

 

쾌니히스베르그의 다리 문제에서 네 지역은 점으로 다리는 변으로 표현할 수 있습니다.

4개의 점을 볼까요?

A에는 3개의 변이 연결 되어 있죠. B에는 5개, C에는 3개, D에도 3개

그러니까 네 점이 모두 홀수점이기 때문에 한붓그리기가 가능하지 않습니다.

 

원리를 배웠으면 연습문제를 풀어봐야죠.

인기TV프로그램 ‘문제적 남자’에 나온 문제인데요

홀수점이 몇 개인지 볼까요?

2개입니다.

 

그러니까 한붓그리가 가능합니다.

한붓그리기를 할 때 홀수점이 없는 경우는 어디에서 시작해도 되지만

홀수점이 2개인 경우는 반드시 한 홀수점에서 시작해서 또 다른 홀수점에서 끝내야 합니다.

 

쾨니히스베르그의 다리 문제를 점과 변으로 단순화시켜 표현했는데

이를 ‘그래프’라고 합니다.

이 문제는 그래프이론과 위상수학의 출발점이 되었습니다.

 

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위상수학은 정확히 무엇인가요?

 

예를 들어보죠.

여기 ‘젓소’와 ‘구’ 그리고 ‘머그컵’과 ‘도넛’이 있습니다.

 

위상수학적으로 보면 젖소와 구는 같은 모양이고, 또 머그컵과 도넛도 같은 모양입니다.

연속적 변화를 통해 만들어질 수 있는 것을 ‘동형’으로 보고

도형을 분류하며 그 성질을 탐구하는 분야가 위상수학입니다.

 

뭔 말인지 어려우시죠?

이처럼 위상수학은 난해하기 때문에 수학과 학생들도 위상수학의 영어 단어 토폴로지(Topology)를 "또모르지"라고 부르곤 합니다.

 

위상수학은 빅데이터 시대를 맞이해서 더욱 부각되고 있습니다.

데이터가 적으면 눈으로 비교할 수 있지만

방대한 빅데이터의 경우는 비교가 쉽지 않은데요

이 때 빅데이터의 위상적 성질을 조사하면 패턴을 알아내기가 쉽습니다.

 

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쾨니히스베르그의 7개 다리 중 2개는 2차 세계대전 때 폭격을 받아 파괴되었고

지금은 러시아의 영토가 되어 이름도 바뀌었지만(쾨니히스베르그 -> 칼리닌그라드)

수학의 역사에서 쾨니히스베르그는 영원히 기억될 것입니다.

 

저는 더 재미있는 주제로 돌아오겠습니다.

커밍 쑨~