[수학비타민] 공기, 불, 물, 흙, 제5원소는?

영화 <제5원소> 기억하시죠?

뤽 베송 감독에 블루스 윌리스와 밀라 요보비치가 열연했죠.

이 영화의 마지막에서 주인공은 물, 불, 흙, 공기의 4가지 원소에 이은 제5원소가 ‘사랑’이라는 걸 깨닫게 되죠.

 

수학의 기하학에서도 4가지 기본 원소를 정다면체와 연결 짓는 시도가 있었답니다.

정다면체는 각 면이 모두 똑같은 정다각형으로 이루어지고

또 각 꼭짓점에 모인 면의 개수가 같아야 합니다.

 

그런 정다면체는

정4면체, 정6면체, 정8면체, 정12면체, 정20면체

딱 5가지 밖에 없어요.

 

이 사실을 이미 2500년 전 고대 그리스인들은 알고 있었습니다.

플라톤은 완벽한 대칭적 구조를 지닌 정다면체를 가장 아름다운 존재로 보고

이 세상을 이루고 있는 4가지 원소인 물, 불, 흙, 공기도 반드시 정다면체여야 한다고 생각했습니다.

 

플라톤은 이처럼 정다면체에 특별한 의미를 부여했기 때문에

정다면체를 ‘플라톤의 입체’라고 합니다.

 

정다면체 중에서 면의 넓이에 비해 부피가 가장 작은 것은 정4면체이고

가장 큰 것은 정20면체입니다.

 

고대 그리스인들은 이런 관계가 건조함과 축축함의 정도를 나타낸다고 생각했습니다.

4가지 원소 중 가장 건조한 것은 정사면체이고,

가장 습기가 많은 물은 정20면체라고 봤습니다.

또 가볍고 날카로운 불은 정4면체,

유동성이 놓은 물은 쉽게 구를 수 있는 정20면체라고 해석하기도 합니다.

 

상자 모양인 정6면체는 견고하기 때문에 안정적인 특성을 지닌 흙과 연결되고

정8면체는 마주보는 꼭짓점을 잡고 불면 쉽게 돌릴 수 있기 때문에 공기를 상징한다고 봤습니다.

 

12는 12간지, 황도십이궁과 같이 우주와 관련이 깊기 때문에 정12면체는 우주를 나타냅니다.

 

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정12면체는 명화 속에도 등장합니다.

살바도르 달리의 ‘최후의 만찬’에는 그리스도를 중심으로 12명의 제자들이 배치되어 있고

그리스도가 하늘로 승천하는 모습을 담아 부활을 암시합니다.

 

그림의 상단에 배치된 정12면체는 12명의 제자와 12라는 면에서 공통점을 갖고

또 우주를 상징하는 것으로 해석됩니다.

 

물질의 기본 단위인 분자는 중심 원자 주변에 다른 원자들이 대칭적으로 위치하기 때문에

대부분 정다면체 구조를 갖습니다.

 

예를 들어 메탄 CH4의 경우 가운데 C와 4개의 H가 정사면체 모양을 이루고 있고

소금 NaCl은 정6면체 모양입니다.

 

바이러스는 DNA와 RNA같은 유전 물질을 잘 보호해야 하는데

외부에서 가해지는 충격을 가장 잘 견디는 모양은 구입니다.

정다면체 중 구에 가장 가까운 건 정20면체죠.

그러다보니 바이러스는 정20면체인 경우가 많습니다.

적자생존에 의해 구에 가까운 정20면체 바이러스가 잘 살아 남은 거죠.

 

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왜 정다각면체는 5가지 밖에 없는 거지요?

 

정다각형은 무한히 많은데

정다면체는 5가지 밖에 없다는 게 선뜻 이해가 되지 않죠?

 

정다면체의 전개도를 볼까요?

한 꼭짓점에 한 내각의 크기가 60도인 정삼각형이 3개 모이면 정4면체

4개 모이면 정8면체, 5개 모이면 정20면체가 되죠.

그런데 6개 모이면 360도가 꽉 채워지기 때문에 입체가 만들어지지 않습니다.

 

마찬가지로 한 내각의 크기가 90도인 정사각형은

3개 모이면 정6면체가 되죠.

4개가 모이면 역시 360도가 되기 때문에 불가능하고요

 

정5각형을 3개 모이도록 하면 정12면체가 되죠.

정6각형은 한 내각의 크기가 120도, 3개만 모여도 360도가 되기 때문에 불가능합니다.

 

종합하면 정다면체가 만들어지는 경우는

5가지 밖에 없습니다.

 

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정다면체는 케플러의 천체 모델에도

등장한다는데 어떤 내용이죠?

 

케플러 시대에는 수성, 금성, 지구, 화성, 목성, 토성만이 알려져 있었습니다.

이렇게 여섯 개의 행성을 놓고

케플러는 그 사이에 다섯 개의 정다면체를 배치했습니다.

 

가장 바깥은 토성의 궤도고, 그 구의 내접하는 정6면체가 있죠.

그 정6면체에 내접하는 구는 목성의 궤도고

그 구의 내접하는 정4면체가 있습니다.

그 정4면체에 내접하는 구는 화성의 궤도고요.

 

구의 정다면체를 내접시켜 가면 구와 구 사이의 거리가 나오는데

케플러는 당시 알려진 관측 결과를 반영해서

정다면체와 행성의 순서를 정했다고 합니다.

 

물론 이 모델은 틀린 것입니다만

케플러는 우주가 하나님의 뜻에 따라 기하학적으로 조화로운 천체 운동을 한다고 믿었고

그걸 이 모델을 통해 보여주려고 했습니다.

 

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정다면체 이야기 즐거우셨나요?

곧 돌아오겠습니다.

커밍 쑨~