[수학비타민] 묻고 더블로 가! 거듭제곱~

<파워즈 오브 텐(Powers of Ten)>은 제목이 말해주듯

10의 거듭제곱의 위력을 실감할 수 있는 다큐멘터리입니다.

https://youtu.be/0fKBhvDjuy0

 

시카고 공원에서 휴식을 취하고 있는 남녀에서 출발해서

카메라가 대상과의 거리를 10초당 10배씩 늘려 줌아웃(zoom out) 하는데요

 

그에 따라 남녀의 모습은 점차 사라지고

대한민국 면적의 절반이나 된다는 미시간 호수도 하나의 점으로 사라집니다.

차례로 지구, 태양계, 은하계가 나타났다 사라집니다.

마치 우주선을 타고 가면서 밖을 내다보는 느낌인데요.

 

이번에는 반대로 카메라를 10초 당 10배씩 줌인(zoom in)해서 접근시킵니다.

처음에는 사람의 피부가 보이고

점차 세포, 세포의 핵, 원자, 원자핵이 보이게 됩니다.

 

이처럼 우주와 같은 거시 세계

원자와 같은 미시 세계를 보여줄 때 동원되는게 거듭제곱입니다.

 

거듭제곱은 말 그대로 거듭해서 제 스스로 곱한 것으로 중학교 1학년 수학 내용입니다.

거듭제곱과 관련이 깊은 게 급속한 속도로 증가하는 ‘기하급수적 증가’죠.

 

장년층의 인터넷 이용이 기하급수적으로 늘고 있다거나

다이아몬드의 크기가 커질수록 가격은 기하급수적으로 높아진다는 등

자주 접하게 되는 표현이죠.

 

기하급수적 증가와 관련된 일화를 하나 소개하겠습니다.

옛날 인도에 한 왕이 있었는데

워낙 전쟁을 좋아해서 백성들이 늘 불안했습니다.

 

그래서 세타라는 승려는 왕의 관심을 돌리기 위해

전쟁과 비슷한 규칙을 가진 체스, 서양장기를 소개했습니다.

변화무쌍한 체스에 재미를 붙이게 된 왕은 진짜 전쟁을 그만두었다고 합니다.

 

왕은 세타에게 무엇이든 원하는 것을 하사하겠다고 약속했는데요

세타는 체스판의 첫 칸에 밀 1알

둘째 칸에 2알, 셋째 칸에 4알과 같이

두 배씩 밀알을 늘려, 64개의 칸을 채워달라고 요구했습니다.

 

소박하게 들리지만 실제로는 들어주기 불가능한 요구입니다.

필요한 밀알의 수는

1+ 2+ 2²+ 23+ 24+ 25+ ... + 263 쭉 더해 나가서 2의 63제곱까지 계산하면 엄청나게 큰 수가 됩니다.

 

만약 1m3에 1500만 개의 밀알이 담긴다고 하면

전체 밀알의 부피는 1200km3가 됩니다.

그러니까 가로, 세로, 높이가 각각 10.6km인 공간을 가득 채우는 양이 됩니다.

 

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또 다른 예도 들어주세요.

 

종이 접기 실험을 해보아도 상상을 초월하는 결과를 얻게 됩니다.

종이의 두께가 0.1mm라고 하죠.

 

종이를 한 번 접으면 0.2mm

두 번 접으면 0.4mm

세 번 접으면 0.8mm

이런 식으로 11번 접으면 21cm로 농구공의 지름이 됩니다.

여기까지는 그럴 수 있으려니 하겠지만

이제부터 빠르게 증가합니다.

 

50번을 접으면 어떻게 될까요?

계산해 보면 태양까지 도달하게 됩니다.

 

실제 종이를 몇 번이나 접을 수 있을까?

이 호기심을 해결하기 위해 중장비까지 동원해서 11번을 접은 예가 있습니다.

그러니 50번을 접어 태양까지 가는 게 현실적으로는 불가능하겠죠.

 

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큰 수를 나타내는 단위가 필요할 텐데요

일, 십, 백, 천, 만, 억, 조 그 다음 단위는 어떻게 되나요?

 

‘경’입니다.

큰 수와 작은 수를 나타내는 단위 중에는 일상 언어와 관련된 경우가 있습니다.

짐작조차 할 수 없는 이상한 일을 뜻하는 불가사의(不可思議=1064)는

10의 64제곱의 단위이기도 합니다.

너무 큰 수라서 상상조차 하기 힘들다는 측면에서

언어적 의미와 수학적 의미가 연결됩니다.

 

또 10의 52제곱은 항하사(恒河沙=1052)라고 합니다.

항하(恒河)는 인도 갠지스 강이고, 사(沙)는 모래이니까

항하사는 갠지스 강의 모래만큼이나 많다는 의미죠.

 

Google은 그 자체로 '검색하다'는 의미로 사전에 등재되어 있는데요

Google은 원래 십의 100제곱인 Googol(구골=10100)에서 비롯되었습니다.

Google로 검색하면 Googol과 같이 엄청난 수의 방대한 정보를 얻을 수 있으니

의미있는 네이밍이겠죠.

 

이제 작은 수의 단위로 갈까요?

흐릿하고 분명하지 않다는 모호는 0.0000000000001을 나타내는 단위입니다.

0이 12개 붙는데요, 이보다 더 작은 게 찰나

영겁과 대비되는 아주 짧은 순간을 나타내는 ‘찰나’는

소수점 아래 0이 17개 붙은 뒤에 1이 나옵니다.

 

티끌하나 없이 깨끗한 청정(淸淨)은 0이 20개

좀처럼 얻기 힘든 기회를 말하는 천재일우(千載一遇)는 소수점 뒤에 0이 46개 붙은 뒤에 1이 나오는 작은 수입니다.

 

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영어로 power는 위력, 힘인데

거듭제곱이라는 의미도 있습니다.

 

오늘 거듭제곱의 위력을 느끼셨죠?

저는 또 다른 파워풀한 주제로 찾아뵙겠습니다.

커밍 쑨~