[Science Cookie] 시간팽창과 길이수축의 연결다리! 로렌츠 인자 유도방법

 

 

 

시간팽창과 길이수축

그리고 감마 공식을 유도하기 위해서는

상대성 이론 프로젝트 첫 번째 영상에 있는

빛알시계를 이용해야 합니다.

 

여기서는 빛알이 실제 빛의 속도로 움직입니다.

이 빛의 속도를 우리는 기호로 c라고 쓰는데

일정하다는 의미인 constant의 c를 가져온 것이에요.

 

먼저 움직이는 우주선에 타고 있는 쿠키가

빛알시계를 관찰합니다.

시간은 이동한 거리에 속도를 나눠주면 되는 것. 기억나시죠?

 

빛알시계의 길이를 S라고 두면

빛이 왕복하는데 걸리는 시간은

빛알이 왕복하는 거리인 2S에다가

빛의 속도인 c를 나눈 값인

(2S)/c가 됩니다.

 

이 시간은 우주선 안에 있는 쿠키가 잰 시간

즉 팽창하지 않은 시간입니다.

이러한 시간을 우리는 '고유시간'이라고 부릅니다.

 

고유시간을 팽창한 시간과 구분하기 위해

t₀라고 표현하겠습니다.

그럼 t₀=(2S)/c가 되겠네요?

 

다음으로 정지한 여러분이 관찰한 우주선의 빛알시계를 보겠습니다.

우주선이 v의 속도로 맹렬하게 앞으로 나아가기 때문에

빛알의 진로는 이렇게 대각선으로 표현됩니다.

 

그렇다면 이 대각선의 길이를 s라고 놓았을 때

이 대각선의 길이를 왕복하는 시간

즉 팽창한 시간을 구해보면

t=(2s)/c가 됩니다.

 

이제 아까 구한 t₀와 지금 구한 t를

이동거리 형태로 정리해 놓으면 (s와 S에 관하여 풀면)

S=(ct₀)/2가 되고

s=(ct)/2가 됩니다.

 

자. 이렇게 정리해두고 난 뒤

다시 정지한 여러분이 관찰한 우주선의 빛알 시계로 돌아가서

대각선의 길이인 s를 구해봅시다.

 

우주선이 움직이면서 빛알이 왕복한 시간

즉 팽창된 시간을 아까 t라고 놓았으니까

우주선이 움직인 거리는 vt가 됩니다 (속도 v × 시간 t)

 

그리고 이 삼각형을 반으로 쪼개면 높이는 S (빛알시계의 길이)

밑변의 길이는 (vt)/2인 (반으로 나눴으므로)

직각삼각형이 되는 걸 알 수 있습니다.

 

여기에서 피타고라스의 정리를 이용해 대각선의 길이를 구하면

s²=S²+(vt)²/4라는 것을 알 수 있죠.

이제 여기에 s를 대입하고 S를 대입해서 정리하면

이런 식으로 정리할 수 있어요.

t=1/√(1-v²/c²)×t₀

 

여기에서 앞의 1/√(1-v²/c²)를 ɤ라고 놓고

이를 우리는 'ɤ공식' 또는 '로렌츠 인자'라고 부릅니다.

이 로렌츠 인자는 언제나 1보다 크거나 같아서 (ɤ≥1)

최종 유도된 t=ɤt₀를 보면 (ɤ는 t₀의 계수)

t가 언제나 t₀보다 크거나 같다는 것을 알 수 있죠. (t≥t₀)

 

해석하자면 정지한 여러분이 본 우주선의 시간 (팽창시간; t)

언제나 우주선 안의 쿠키가 느끼는 시간보다 (고유시간; t₀)

길거나 같다는 뜻이에요. (t≥t₀)

즉 시간이 팽창된 것이죠.

 

길이 수축은 이 시간팽창의 결과에요.

정거장에 서 있는 여러분이 우주선을 바라봅니다.

우주선이 정거장을 통과할 때까지 걸린 시간은

팽창한 시간 t에요.

정거장의 길이를 L₀라고 두고

이 길이를 정지한 여러분이 측정한 길이라는 의미에서

고유길이라고 할게요.

그렇다면 이 고유길이 L₀=vt가 될 거예요.

 

자 이번에는 우주선 안에 있는 쿠키가 정거장을 봅니다.

자신의 시간 t₀를 이용해 쿠키가 바라본

우주 정거장의 길이 L=vt₀가 될 거예요

이 결과를 이용해 L/L₀를 풀어보면 1/ɤ가 되고

이를 통해 L=L₀/ɤ가 된다는 것을 알 수 있죠.

 

앞서 설명드렸던 것처럼 ɤ는 언제나 1보다 크기 때문에 (ɤ≥1)

1보다 큰 값이 L₀에 나눠진 L은

L₀보다 항상 작을 수밖에 없어요. (L≤L₀)

즉 길이가 수축한 것이죠.

 

이 유도 공식을 최대한 쉽게 설명드리려고 노력했는데

순식간에 유도가 진행되다 보니

놓치는 부분이 있을 수도 있다고 생각해요.

 

이해가 되지 않거나 따라가기 쉽지 않았다면

끊어 재생하면서

유도 과정을 따라 천천히 곱씹어보는 것을 추천해 드릴게요.