지식보관소_ 인류는 수학을 통해서 우주의 비밀을 밝혀내게 될까?

 

 

여러분은 수학이라고 하면 무엇이 떠오르나요?

학창시절에 가장 공부하기 싫었던 과목으로 기억하는 사람도 있을 텐데요.

그런데 이렇게 공부하기 싫고

‘대체 이걸 배워서 어디다 쓰지?’라는 생각이 들 수도 있는 수학을

수학자들은 인생을 다 바쳐서 매진하기도 합니다.

 

대체 왜 이렇게 복잡하고 머리 아픈 학문을 연구하는지 싶겠지만

이렇게 수학에 미쳐버린 수학자들이 가진 공통적인 동기는

생뚱맞게도 ‘우주의 비밀을 밝히고 싶다’는 것이었죠.

 

대체 수학이랑 우주의 비밀이 무슨 관련이 있고

왜 수학을 공부한 천재들이 우주의 비밀을 찾기 위해서

수학에 미쳐버리는지

이번 영상에서 설명해 보려고 합니다.

 

오일러 공식

지금 우주를 구성하는 가장 중요한 5가지 숫자를 소개해 보겠습니다.

3.141592...으로 시작하는 이 숫자는

다들 아시겠지만 원주율 파이로

지름과 원의 둘레 비율을 나타내는 숫자입니다.

 

원은 가장 간단한 도형으로

별부터 행성, 그리고 원자들까지

우주의 기본을 이루고 있는 형태인데,

놀랍게도 원의 크기와 상관없이

지름과 그 둘레의 비율은 동일했다는 것입니다.

 

그리고 그 지름을 1이라고 했을 때

둘레의 비율을 나타낸 숫자가 바로 π인 것이죠.

 

다음은 자연상수 e입니다.

무수히 많은 자연 현상에서 원주율 π가 발견되는 것만큼

많이 발견되는 상수 중의 하나가

바로 이 자연 상수인데요.

우리가 흔히 말하는 지수함수로 증가된다고 표현할 때 사용되는 함수가

바로 이 자연상수입니다.

 

고등학교 때 미적분을 배우기 위해서 처음 등장하지만

실제로는 자연 현상에서 너무나도 자주 발견돼서

공대로 진학하면 항상 나오는 숫자죠.

 

다음은 숫자 1과 0입니다.

1은 설명할 것 없이 가장 중요한 숫자입니다.

앞서 설명한 것뿐만이 아니라

모든 비율을 설명하기 위해서는 1이라는 개념이 필요합니다.

반대로 아무것도 없음을 나타내는 숫자 0도 존재하죠.

 

개념적으로 따지면

우주는 무언가 존재하는 최소 단위인 1과

아무것도 없는 개념인 0으로 이루어져 있습니다.

 

너무나도 기본적인 개념이라서

우리가 사용하는 프로그램 또한

0과 1을 이용해서 나타내고

모스부호 또한 0과 1,

2가지 개념만으로 사용할 수가 있습니다.

 

 

마지막은 허수 i인데요.

아니 허수는 실제로 존재하지 않는데

우주를 구성하는 숫자랑 뭔 상관이냐고 할 수도 있지만

실제로는 중요합니다.

 

아인슈타인은 중력이 생기는 원인이

시공간이 휘어지면서 생긴다고 주장을 했고

물체의 질량에 의해서 3차원 시공간이

우리의 시공간과 다른 방향으로 휘어진다고 생각했죠.

 

복소수는 실수와 달리 존재하지 않는 수이기 때문에

수학에서 이를 표현하기 위해서는

실수와 다른 축을 만들어서 표현합니다.

이를 복소평면이라고 부르는데요.

다른 축은 물리적 관점으로 보면

다른 새로운 차원을 의미하기 때문에

우주가 실수들로 이루어져 있다고 친다면

상대성 이론에 의해서 생기는 중력을 설명하기 위해서는

추가적인 차원,

즉 허수가 필요합니다.

 

결국 복소수 i는

우주의 중력을 설명하기 위해서 필요한 개념이죠.

 

 

지금 언급한 이 5가지 숫자들은

모두 수학자들이 인정하는 인류가 발견한 가장 중요한 숫자들입니다.

 

현재까지 존재하는 모든 자연현상을 수학적으로 표현하는데

이 5개의 숫자만으로 충분할 정도로

우주의 근본을 담고 있는 숫자들이죠.

 

그런데 보면 알겠지만

이 5개의 숫자는 아무런 공통점이 없습니다.

원주율과 자연상수, 0과 1 그리고 허수는

우주에서 가장 중요한 숫자라는 것 이외에 아무런 공통점이 없죠.

 

그런데 놀랍게도 이 숫자들을

eiπ +1=0

이렇게 배열하면

너무나도 간단하고 아름다운 최고의 공식이 만들어집니다.

바로 오일러 공식이죠.

 

아니 분명히 아무런 공통점이 없는 수들만으로

깔끔한 공식이 만들어진다는 게 너무나도 놀랍지 않습니까?

 

아니 원주율이랑 자연 상수가 대체 뭔 관계가 있기 때문에

이런 공식이 나오는 걸까요?

 

물론 이 공식을 수학적으로 풀이할 수 있겠지만

하필 원주율이 3.14인 것이랑

자연 수가 2.71...인 게 설계된 게 아닐까 싶을 정도로 놀라운 일인데요.

 

이 때문에 이 공식은 많은 수학자분들이 처음에 이 공식을 접하고서

우주의 비밀이 수학에 있다고 생각하게 만들며

매년 수학자들이 생각하는 가장 아름다운 공식으로 선정이 됩니다.

 

어쩌면 이 공식은

우주의 기본 알고리즘과 관련이 있는 게 아닐까요?

 

 

2. 오일러 베타함수(오일러 적분공식)

20세기의 물리학자들은

중력과 전자기력 외에 새로운 힘인 핵력을 발견합니다.

원자핵 내부에서만 작용하는 힘인 핵력 덕분에

핵융합이나 핵분열이 가능하고

무거운 원소들이 생길 수가 있어서

현재의 우주와 우리가 존재하기 위해서는 반드시 이게 필요하죠.

 

하지만 당시에는 발견된 지 얼마 되지 않아서

핵력의 근원이나 규칙조차 알지를 못했고

실험까지도 부족했습니다.

 

그러다가 1968년에 강입자 연구소에서

많은 실험 데이터들을 기반으로

핵력을 수학적으로 기술하려고 했던 물리학자들은

놀라운 사실을 발견합니다.

20세기에나 들어서 처음 발견이 된

중성자와 양성자들의 실험 데이터를 수학적으로 기술해 보니까

무려 200년 전의 수학자인 오일러가 만든

오일러 베타함수와 똑같았다는 것이죠.

 

오일러 적분이라고도 불리는 이 오일러 베타함수가

얼마나 정확했냐면

당시에 실험을 진행하기 전에

실험 진행 결과를 오일러 베타함수로 미리 계산해서 예측하고 실험할 정도였습니다.

 

문제는 오일러 베타함수로 예측한 결과는 죄다 들어맞는데

정작 이 베타함수가 가진 의미가 뭔지를 알 수가 없었다는 것입니다.

 

진짜 문제가 아무도

이 공식이 완벽히 들어맞는 원리를 설명하지 못하는데

실적을 내기 위해서 많은 과학자들이

이 공식만 외워서 새로운 실험 결과를 예측한다는 것이었죠.

 

일부 수학자들은 이 현상을 두고

어쩌다 신의 답안지를 얻은 과학자들이

풀이 과정은 전혀 이해하지 못한 채

답을 베껴 쓰는 데만 급급하고 있다며 비난할 정도였습니다.

 

이 때문에 답안지는 베껴 쓰더라도

적어도 풀이 과정은 이해해야겠다고 생각한 몇몇 수학자들과 과학자들이 모여서

핵력을 완벽하게 설명했던

오일러 베타함수의 기하학적인 의미를 연구하기 시작했습니다.

대체 이 공식이

왜 원자에게 일어나는 물리적 현상을 설명할 수 있는지 알아내야 했죠.

 

다들 알다시피 함수는

그래프나 도형으로 표현할 수가 있습니다.

예를 들어서

10x10이라고 하면

가로 세로가 각각 10인 정사각형으로 표현할 수가 있고

10x10x10은 정육면체로 표현할 수가 있죠.

 

그리고 1974년에 오일러 베타함수의 기하학적인 의미를 풀이했던 연구팀은

놀라운 사실을 발견했습니다.

이 수식은 우주에서 가장 작은 소립자의 형태를

0차원의 점이나 3차원의 어떤 형태가 아니라

1차원이라고 가정했을 때의 모습을 수식화한 공식이었던 것이죠.

 

심지어 어처구니없게도

우주의 기본 단위가 1차원의 물질로 이루어져 있고

여기에 우리 눈에 보이지 않는 차원이 몇 개 더 존재한다고 가정하고 공식을 만들자

믿기지 않게도 그동안 난재였던

우주에 존재하는 모든 힘을 하나의 공식으로 설명이 가능해졌고

심지어 수학적으로는 양자역학과 상대성 이론이 통합이 되는 것이었습니다.

 

 

이로 인해 등장한 것이 바로 초끈이론이죠.

우주의 물질을 1차원이라고 가정한 공식이

원자의 가장 작은 소립자에 일어나는 현상을 완벽히 설명하고

4대힘과 양대이론까지 통합시킨 게 과연 우연일까요?

 

이 때문에 초끈이론이 이론상 증명이 불가능함에도

많은 물리학자들이 놓을 수가 없는 것입니다.

 

 

3. 리만가설

소수는 1과 자기 자신 외에는 나눠지지 않는 숫자로

수학계의 원자라고 할 수가 있습니다.

예를 들어

숫자 6은 사실 2x3으로 나타낼 수가 있기 때문에

2와 3으로 이루어진 숫자인 것이죠.

 

마치 물 분자를 원자로 쪼개다 보면

수소와 산소로 쪼개지는 것처럼

숫자 6은 2와 3이라는 원소로 이루어진 분자인 것입니다.

 

6보다 훨씬 큰 숫자라도 소인수 분해를 통해서

어떤 소수들의 곱인지 금방 알 수가 있습니다.

 

하지만 더 이상 쪼개지지 않는 숫자는

소인수 분해가 불가능해서

현대 암호학은 매우 큰 소수를 사용해서 암호화를 하죠.

 

그런데 수학자 오일러가

1-1/소수^2를 곱해 나가면

원주율 파이가 나온다는 사실을 발견했고

더 이상 쪼개지지 않는 원소 같은 소수로 만든 공식의 끝에

원주율이 등장한다는 건

매우 신기한 일이었습니다.

 

때문에 많은 수학자들이

소수를 통해 만들어 낸 오일러의 공식을 연구했죠.

 

그러던 중에 수학자 리만은

이 오일러 공식에서 소수를 무한대까지 확장시킨 새로운 공식인

제타함수를 만들었는데

신기하게도 소수가 등장하는 데 어떤 패턴이 있었습니다.

 

수학자들은 제타함수에서 소수가 등장하는 간격을

수식으로 만들어서 표현했고

이 수식을 접한 물리학자들은 매우 놀랐는데요.

 

수학자들한테는 처음 보는 수식이었겠지만

이 수식은 놀랍게도

양자역학에서 가장 중요한 소립자들의 운동 규칙을 서술한 방정식과

완전하게 동일했던 것입니다.

 

이게 매우 신기한 이유는

만약에 양자 역학을 집중적으로 연구하는 물리학자들한테

우주의 비밀을 풀기 위해 알아내야 할 가장 중요한 수식이 뭐냐고 물어보면

이 수식을 얘기할 정도로

우주의 근본, 우주의 비밀과 가장 밀접한 관련이 있는 공식이

바로 이 수식인 것입니다.

 

이 수식은 관측하지 않을 때

입자가 파동의 패턴을 보이는

이중슬릿 실험과 매우 밀접한 관련이 있는데요.

 

아니 대체 왜 물리학과 이 우주와 아무런 관련이 없는

수학의 소수의 규칙을 설명하려고 만들어진 이 수식이

대체 왜 우주의 비밀과 가장 밀접한 관련이 있을 것으로 생각이 되는

양자역학의 공식과 동일한 것일까요?

 

이는 너무나도 신기한 일이었고,

리만가설을 증명하면

양자역학의 이중슬릿의 비밀이나

더 나아가선 우주의 비밀을 풀 수 있다고

회자가 되는 이유인 것입니다.

 

지금까지 얘기한 것처럼 놀랍게도 수학이

물리학,

그것도 우주의 근본을 연구하는 양자역학이나 상대성이론 같은 최첨단 물리학과

굉장히 밀접한 관련이 있다는 것입니다.

 

왜 자연에서 자주 발견이 되는 원주율과

자연상수를 통해서 만들어진 공식이

이렇게 아름답게 떨어지는지

적분공식을 위해서 만든 오일러 베타함수가

왜 소립자의 핵력을 설명을 하는지,

왜 소수의 규칙을 찾으려고 만든 공식이

양자역학의 소립자의 운동규칙을 찾으려는 공식과 똑같은지

너무나도 신기하지만

 

분명한 건

이 우주의 본질과 수학은

굉장히 밀접한 관련이 있다는 것입니다.

 

 

그렇다면 수학이란 무엇일까요?

대체 뭐길래 우주의 본질과 관련이 있을까요?

 

사실 수학은 다르게 말하면 연산입니다.

어떤 주어진 데이터에 대해서

계산하기 위한 학문이 수학인 것이죠.

즉 데이터를 이용한 연산

그것을 수학이라고 볼 수가 있습니다.

 

때문에 컴퓨터 프로그램은 수학입니다.

어떠한 데이터를 정해진 코딩에 의해서 연산을 하는 것이

바로 프로그램인 것이기 때문이죠.

 

그 때문에 우주가 수학에서 발견되는 규칙과 동일하게 작동을 한다면

우주는 데이터에 기반한 연산 프로그램이라는 것입니다.

 

양자역학의 이중슬릿 실험을 설명할 방법 중의 하나는

연산되지 않은 상태에서는 입자로 실체화하지 않기 때문에

파동의 성질을 나타낸다고 보는 것이고

우주가 곧 수학이라면

수학은 곧 연산이기 때문에

연산되지 않은 입자가

입자로 실체화하지 않는 건 당연합니다.

 

어쩌면 오일러공식이 우주에 코딩된 기본 함수이고

베타함수가 데이터고

리만가설로 이를 암호화해 놓은 하나의 프로그램이

우주일지도 모르겠습니다.

그럼 이만.