에피파니 숲) 세상의 비밀을 알려주는 수학난제 | 콜라츠 추측

 

• 콜라츠 추측의 규칙: 어떤 자연수를 선택하여 다음 규칙을 반복합니다 [00:29]:
  • 짝수이면 2로 나눕니다.
  • 홀수이면 3을 곱하고 1을 더합니다.
  • 결과가 1이 되면 멈춥니다.
• 실험 결과: 콜라츠는 여러 숫자로 실험한 결과, 모든 숫자가 복잡한 패턴을 보이다가 결국 숫자 1로 수렴하는 것을 발견했습니다 [01:09], [01:19].
• 미해결 문제: 콜라츠는 이것이 모든 자연수에 대해 성립할 것이라고 추측했지만, 80년이 넘도록 수학적으로 증명되지 않은 미해결 문제입니다 [01:30], [01:55].
• 상금: 현재 이 문제를 해결하는 사람에게는 10억 원이 넘는 상금이 걸려 있습니다 [01:59].
• 확인된 범위: 현재 2의 68제곱까지의 모든 자연수가 이 과정을 거쳐 1이 되는 것이 확인되었습니다 [02:10].
• 수열의 특징: 처음 선택한 값이 커질수록 수열의 길이가 대체로 길어지고, 그래프에서 선형 추세를 제거하면 특정한 패턴이 나타납니다 [02:21], [02:29].
• 다른 분야와의 유사성: 콜라츠 수열 그래프는 주가 변동, 인구 증가, 기후 변화, 음악의 리듬과 멜로디, 인간의 행동과 심리, 생로병사의 그래프 등 다양한 분야의 그래프와 유사한 패턴을 보입니다 [03:22], [03:40], [03:52], [04:12], [04:24], [04:41], [04:53].
• 철학적 의미: 콜라츠 수열은 단순한 수학 문제를 넘어 인간의 삶의 의미나 우주의 규칙에 대한 철학적 질문을 던지기도 합니다 [06:21], [06:41].
• 결론: 콜라츠 수열 그래프는 우리가 우주와 삶을 이해하는 데 많은 영감을 줄 수 있습니다 [07:22].

 

1937년 독일의 수학자 로타르 콜라츠는

숫자에 관심이 많았습니다.

그는 숫자를 더하거나 빼는 등 다양한 방법으로 변형하고

그 결과를 관찰하기를 좋아했습니다.

 

어느 날 그는 숫자에 간단한 규칙을 적용하고

몇 번의 연산을 거쳤더니

그 숫자가 커졌다, 작아졌다 하면서

복잡하고 불규칙한 패턴을 만들어냈습니다.

그리고 결국 숫자 1로 수렴하였습니다.

 

그가 만든 규칙은 총 4가지 과정입니다.

-어떤 숫자를 선택한다

-짝수이면 2로 나눈다.

-홀수이면 3을 곱하고 1을 더한다.

-1이면 반복을 멈춘다.

 

예를 들어

여기 1에서 10까지의 숫자가 있습니다.

아무 숫자나 골라보시죠.

저는 편의상 5를 골라보겠습니다.

5는 홀수임으로 3을 곱하고 1을 더해서 16이 됩니다.

16은 짝수임으로 2로 나누어서 8이 됩니다.

8은 짝수임으로 2로 나누어서 4가 됩니다.

4는 짝수임으로 2로 나누어서 2가 됩니다.

2는 짝수임으로 2로 나누어서 1이 됩니다.

이 규칙의 마지막 값은 숫자 1이 되었습니다.

 

그는 다른 여러 가지 숫자로도 실험을 해보았습니다.

그랬더니 그가 실험한 모든 숫자 역시

커졌다, 작아졌다 하면서

복잡하고 불규칙한 패턴을 만들어 내다가

결국 숫자 1로 수렴하는 것이었습니다.

 

그는 이것이 우연이 아니라

모든 자연수에 대해 성립할 것이라고 생각했습니다.

그래서 이것을 [콜라츠 추측]이라고 합니다.

 

그는 수학자였기에 이를 수학적으로 증명하려고 했습니다.

왜 모든 자연수가 1로 수렴하는지를

수학적 규칙으로 증명하려 했죠.

하지만 쉽지 않았습니다.

다른 수학자들에게도 이 사실을 알렸고

많은 사람들이 이 문제를 풀려고 시도했습니다.

 

하지만 그 후 80년이 지나도록

지금까지도 이 문제는

페르마의 정리와 함께 수학계의 미해결 문제로 남아 있습니다.

 

현재 이 문제를 해결하는 사람에게는

10억 원이 넘는 상금이 걸려 있습니다.

단 한 번이라도 1로 수렴하지 않는 경우를 발견한다면

누구나 상금의 주인공이 될 수 있다고 합니다.

 

현재 2의 68승까지는

모든 자연수가 이러한 과정을 거쳐 결국 1이 되는 것이 확인되었습니다.

 

콜라츠 추측에서 만들어지는 수열은

처음 선택한 값이 커질수록

수열의 길이가 대체로 길어집니다.

그리고 수열의 그래프에서 선형 추세를 제거하면

일반적으로 화면과 같은 패턴이 나옵니다.

 

선형 추세를 제거한다는 것은

콜라츠 수열 그래프를 수평으로 보는 것으로 이해하면 되겠습니다.

먼저 콜라츠 수열 그래프는 수학적 현상입니다.

그래서 이것을 이용하여 다른 것들을 설명하려고 하면

오해나 잘못된 해석을 할 가능성이 높습니다.

 

예를 들어

이것을 이용하여 주식 투자에 활용하려는 시도는

적절하지 않을 수 있습니다.

우리는 아직 콜라츠 수열 그래프에 대해 완전히 알지 못하며

불규칙하고 예측할 수 없는 특성을 보고 있을 뿐입니다.

 

그래서 예측이 필요한 분야에 섣불리 적용하기에는

위험하고, 비합리적일 수 있습니다.

 

그런데 그럼에도 불구하고 이 콜라츠 수열 그래프는

주가 변동 그래프

인구 증가 그래프

기후 변화 그래프

경제 성장 그래프

질병 확산 그래프 등과

너무나 유사함을 알 수 있습니다.

 

보통의 주가 폭락 시기에 나오는 이 차트 모양은

콜라츠 수열 차트와 비슷해 보입니다.

그뿐 아닙니다.

음악의 리듬과 멜로디, 인간의 행동과 심리, 생로병사 역시

닮은 구석이 많이 있습니다.

 

예를 들어

음악의 리듬과 멜로디는

콜라츠 수열의 그래프와 비슷하게

복잡하고 불규칙한 패턴을 가지면서

반복되는 요소를 가지고 있습니다.

 

이러한 리듬과 멜로디에서

음의 높낮이와 길이, 강도 등을 일정한 비율로 표현하는 것을

수학적으로 ‘로그스케일’로 표현한다고 하는데

이렇게 표현했더니 콜라츠 수열의 그래프와 유사한 모양이 되는 것입니다.

 

인간의 행동과 심리도 마찬가지입니다.

인간의 행동과 심리도

콜라츠 수열의 그래프와 비슷하게

복잡하고 불규칙한 패턴을 가지면서 주기적인 요소도 있습니다.

 

인간의 행동과 심리에서

행동의 강도, 지속, 시간, 반응 시간 등을 로그 스케일로 표현하니

콜라츠 수열의 그래프와 유사한 모양이 되었습니다.

 

이것은 심장 박동이나 호흡, 수면 주기, 기분 변화, 학습 곡선 등에서도

똑같이 나타난다고 합니다.

생로병사의 그래프와 콜라츠 수열은

거의 흡사하다고 할 수 있습니다.

 

생로병사의 그래프는

인간의 생애 과정을 나타내는 그래프로

출생, 성장, 성숙, 노화, 죽음 등의 단계를 표현하는 것입니다.

 

-출생은 어떤 자연수를 의미합니다.

-성장은 홀수일 때 3을 곱하고 1을 더해

콜라츠 수율이 점점 커지고, 최대값에 도달하는 것입니다.

-성숙은 짝수일 때 2로 나누는 것에 비유할 수 있습니다.

이것은 인간의 성숙을 의미합니다.

-노화는 콜라츠 수열이 어떤 최대값에서 반복을 멈추고 하락하는 것입니다.

죽음은 숫자 1입니다.

이제 더 이상의 변화는 없습니다.

 

콜라츠 수열을 보다 보면

만약 이 가설이 참이라면

어떤 자연수든 결국은 1이 됩니다.

콜라츠 수율의 복잡하고 불규칙한 파동은

아직 이해할 수가 없지만

숫자 1은 수열이 끝났음을 알리는

특별한 값임을 알 수가 있습니다.

 

세상만사가 모두 결국에 도달하는 곳은 어디입니까?

숫자 1은 그것이 아닐까요?

세상만사가 모두 결국에 도달하는 곳이 어디인지는

인간의 존재와 삶의 의미에 대한 깊은 고민을 필요로 합니다.

 

어떤 사람은 천국이나 지옥이라고 믿을 수 있고

어떤 사람은 윤회나 환생이라고 믿을 수 있습니다.

어떤 사람은 무엇도 없다고 생각할 수 있고

어떤 사람은 무엇인가 있을 것이라고 희망할 수 있습니다.

 

콜라츠 수열을

철학적 의미에서 탐구하는 많은 사례들이 있습니다.

이것은 콜라츠 수열이

단순한 수학적 문제가 아니라

수학과 철학의 접점을 제공하는 흥미로운 주제임을 보여줍니다.

 

콜라츠 수열을 철학적으로 해석하고

이를 인간의 삶과 우주에 비유해 보면

인간의 삶이 어떤 목적이나 의미를 가지고 있는지

그리고 우주의 규칙이나 질서가

어떻게 존재하는지에 대한 고민을 유발합니다.

 

현재 우주의 은하는

은하가 매우 불규칙하게 분포되어 있으며 팽창하고 있습니다.

이 팽창이 언젠가 멈추게 된다면

숫자 1에 해당하는 무언가로 수렴하게 될지도 모릅니다.

 

만약 콜라츠 수열이 참이라면

우리는 “모든 숫자는 1이다”

이렇게 말할 수 있을지도 모릅니다.

 

콜라츠 수열과 관련된 극히 일부분만의 내용만으로

어떤 결론을 내리는 것은 적절하지 않을 수도 있습니다.

하지만 콜라츠 수열 그래프는 분명히

우리가 우주와 우리 삶을 이해하는데

많은 모티브를 주고 있습니다.

 

 

 

1937년 독일의 수학자 로타르 콜라츠는

숫자에 관심이 많았습니다.

그는 숫자를 더하거나 빼는 등 다양한 방법으로 변형하고

그 결과를 관찰하기를 좋아했습니다.

 

어느 날 그는 숫자에 간단한 규칙을 적용하고

몇 번의 연산을 거쳤더니

그 숫자가 커졌다, 작아졌다 하면서

복잡하고 불규칙한 패턴을 만들어냈습니다.

그리고 결국 숫자 1로 수렴하였습니다.

 

그가 만든 규칙은 총 4가지 과정입니다.

-어떤 숫자를 선택한다

-짝수이면 2로 나눈다.

-홀수이면 3을 곱하고 1을 더한다.

-1이면 반복을 멈춘다.

 

예를 들어

여기 1에서 10까지의 숫자가 있습니다.

아무 숫자나 골라보시죠.

저는 편의상 5를 골라보겠습니다.

5는 홀수임으로 3을 곱하고 1을 더해서 16이 됩니다.

16은 짝수임으로 2로 나누어서 8이 됩니다.

8은 짝수임으로 2로 나누어서 4가 됩니다.

4는 짝수임으로 2로 나누어서 2가 됩니다.

2는 짝수임으로 2로 나누어서 1이 됩니다.

이 규칙의 마지막 값은 숫자 1이 되었습니다.

 

그는 다른 여러 가지 숫자로도 실험을 해보았습니다.

그랬더니 그가 실험한 모든 숫자 역시

커졌다, 작아졌다 하면서

복잡하고 불규칙한 패턴을 만들어 내다가

결국 숫자 1로 수렴하는 것이었습니다.

 

그는 이것이 우연이 아니라

모든 자연수에 대해 성립할 것이라고 생각했습니다.

그래서 이것을 [콜라츠 추측]이라고 합니다.

 

그는 수학자였기에 이를 수학적으로 증명하려고 했습니다.

왜 모든 자연수가 1로 수렴하는지를

수학적 규칙으로 증명하려 했죠.

하지만 쉽지 않았습니다.

다른 수학자들에게도 이 사실을 알렸고

많은 사람들이 이 문제를 풀려고 시도했습니다.

 

하지만 그 후 80년이 지나도록

지금까지도 이 문제는

페르마의 정리와 함께 수학계의 미해결 문제로 남아 있습니다.

 

현재 이 문제를 해결하는 사람에게는

10억 원이 넘는 상금이 걸려 있습니다.

단 한 번이라도 1로 수렴하지 않는 경우를 발견한다면

누구나 상금의 주인공이 될 수 있다고 합니다.

 

현재 2의 68승까지는

모든 자연수가 이러한 과정을 거쳐 결국 1이 되는 것이 확인되었습니다.

 

콜라츠 추측에서 만들어지는 수열은

처음 선택한 값이 커질수록

수열의 길이가 대체로 길어집니다.

그리고 수열의 그래프에서 선형 추세를 제거하면

일반적으로 화면과 같은 패턴이 나옵니다.

 

선형 추세를 제거한다는 것은

콜라츠 수열 그래프를 수평으로 보는 것으로 이해하면 되겠습니다.

먼저 콜라츠 수열 그래프는 수학적 현상입니다.

그래서 이것을 이용하여 다른 것들을 설명하려고 하면

오해나 잘못된 해석을 할 가능성이 높습니다.

 

예를 들어

이것을 이용하여 주식 투자에 활용하려는 시도는

적절하지 않을 수 있습니다.

우리는 아직 콜라츠 수열 그래프에 대해 완전히 알지 못하며

불규칙하고 예측할 수 없는 특성을 보고 있을 뿐입니다.

 

그래서 예측이 필요한 분야에 섣불리 적용하기에는

위험하고, 비합리적일 수 있습니다.

 

그런데 그럼에도 불구하고 이 콜라츠 수열 그래프는

주가 변동 그래프

인구 증가 그래프

기후 변화 그래프

경제 성장 그래프

질병 확산 그래프 등과

너무나 유사함을 알 수 있습니다.

 

보통의 주가 폭락 시기에 나오는 이 차트 모양은

콜라츠 수열 차트와 비슷해 보입니다.

그뿐 아닙니다.

음악의 리듬과 멜로디, 인간의 행동과 심리, 생로병사 역시

닮은 구석이 많이 있습니다.

 

예를 들어

음악의 리듬과 멜로디는

콜라츠 수열의 그래프와 비슷하게

복잡하고 불규칙한 패턴을 가지면서

반복되는 요소를 가지고 있습니다.

 

이러한 리듬과 멜로디에서

음의 높낮이와 길이, 강도 등을 일정한 비율로 표현하는 것을

수학적으로 ‘로그스케일’로 표현한다고 하는데

이렇게 표현했더니 콜라츠 수열의 그래프와 유사한 모양이 되는 것입니다.

 

인간의 행동과 심리도 마찬가지입니다.

인간의 행동과 심리도

콜라츠 수열의 그래프와 비슷하게

복잡하고 불규칙한 패턴을 가지면서 주기적인 요소도 있습니다.

 

인간의 행동과 심리에서

행동의 강도, 지속, 시간, 반응 시간 등을 로그 스케일로 표현하니

콜라츠 수열의 그래프와 유사한 모양이 되었습니다.

 

이것은 심장 박동이나 호흡, 수면 주기, 기분 변화, 학습 곡선 등에서도

똑같이 나타난다고 합니다.

생로병사의 그래프와 콜라츠 수열은

거의 흡사하다고 할 수 있습니다.

 

생로병사의 그래프는

인간의 생애 과정을 나타내는 그래프로

출생, 성장, 성숙, 노화, 죽음 등의 단계를 표현하는 것입니다.

 

-출생은 어떤 자연수를 의미합니다.

-성장은 홀수일 때 3을 곱하고 1을 더해

콜라츠 수율이 점점 커지고, 최대값에 도달하는 것입니다.

-성숙은 짝수일 때 2로 나누는 것에 비유할 수 있습니다.

이것은 인간의 성숙을 의미합니다.

-노화는 콜라츠 수열이 어떤 최대값에서 반복을 멈추고 하락하는 것입니다.

죽음은 숫자 1입니다.

이제 더 이상의 변화는 없습니다.

 

콜라츠 수열을 보다 보면

만약 이 가설이 참이라면

어떤 자연수든 결국은 1이 됩니다.

콜라츠 수율의 복잡하고 불규칙한 파동은

아직 이해할 수가 없지만

숫자 1은 수열이 끝났음을 알리는

특별한 값임을 알 수가 있습니다.

 

세상만사가 모두 결국에 도달하는 곳은 어디입니까?

숫자 1은 그것이 아닐까요?

세상만사가 모두 결국에 도달하는 곳이 어디인지는

인간의 존재와 삶의 의미에 대한 깊은 고민을 필요로 합니다.

 

어떤 사람은 천국이나 지옥이라고 믿을 수 있고

어떤 사람은 윤회나 환생이라고 믿을 수 있습니다.

어떤 사람은 무엇도 없다고 생각할 수 있고

어떤 사람은 무엇인가 있을 것이라고 희망할 수 있습니다.

 

콜라츠 수열을

철학적 의미에서 탐구하는 많은 사례들이 있습니다.

이것은 콜라츠 수열이

단순한 수학적 문제가 아니라

수학과 철학의 접점을 제공하는 흥미로운 주제임을 보여줍니다.

 

콜라츠 수열을 철학적으로 해석하고

이를 인간의 삶과 우주에 비유해 보면

인간의 삶이 어떤 목적이나 의미를 가지고 있는지

그리고 우주의 규칙이나 질서가

어떻게 존재하는지에 대한 고민을 유발합니다.

 

현재 우주의 은하는

은하가 매우 불규칙하게 분포되어 있으며 팽창하고 있습니다.

이 팽창이 언젠가 멈추게 된다면

숫자 1에 해당하는 무언가로 수렴하게 될지도 모릅니다.

 

만약 콜라츠 수열이 참이라면

우리는 “모든 숫자는 1이다”

이렇게 말할 수 있을지도 모릅니다.

 

콜라츠 수열과 관련된 극히 일부분만의 내용만으로

어떤 결론을 내리는 것은 적절하지 않을 수도 있습니다.

하지만 콜라츠 수열 그래프는 분명히

우리가 우주와 우리 삶을 이해하는데

많은 모티브를 주고 있습니다.