여기 돌덩이를 보는 다양한 사람들이 있습니다.
누군가에게 돌덩이는 위로 긴 모습이고
누군가에겐 옆으로 길고
또 누군가에겐 멈춰있고
누군가에겐 움직이고 있겠죠.
그렇다 하더라도 우리는 그리 당황스럽지 않아요.
우리가 보는 저 돌덩이가 모두 똑같은 돌덩이라는걸
우리는 모두 알고 있기 때문이죠.
당연한가요?
“사실 우리가 보는 돌덩이는 모두 다른 돌덩이야!!
우리는 다른 세상에 살면서 속고 있는 거라고!!!”
누가 이렇게 외친다면
뭐 대부분의 사람들은 무시하겠죠?
그런데 몇 명의 사람들이
그 목소리에 귀를 기울입니다.
미친놈인 줄 알았던 그 친구가 사실 엄청 똑똑한 친구이었나 봐요
그 친구가 자신있게 얘기합니다.
“우리가 같은 세상에 살고 있다는 증거를 대!!”
웃기죠? 자기가 아니라고 해놓고 증거를 대라니~
또 일부의 사람들이 욕을 하며 떠납니다.
이제 몇 명 안남았네요.
그런데 이 친구가 증거를 댄다면 100만 원을 준다네요.
이 친구의 이름을 타인이라고 해볼까요?
영석이가 손을 들고 얘기합니다.
“그것은 우리들의 시계요. 시계가 모두 똑같이 가지 않소?
시간이 동일하니 같은 세상이라고 할 수 있지!”
너무 뻔한 주장이었나요?
타인이는 빛의 속력을 이용해 시간이 같지 않다고 증명했어요.
그래서 정한이가 이렇게 주장했어요.
“우리가 보는 위치에 따라 학교는 다르게 보이지만
학교가 유일하다는 본질은 변하지 않소.
학교의 길이는 언제나 일정하고, 질량도 항상 일정하다는 것이 그 증거지!”
하지만 타인이는 다르게 운동하는 사람에게
길이가 서로 같지 않다는 것도!
질량이 서로 같지 않다는 것도 증명했습니다.
사람들은 당황하기 시작했고
조금씩 사람들이 모여들기 시작했어요.
그때 갑자기 멀리 떨어진 두 지점에 동시에 번개가 쳤습니다.
누군가 소리쳤어요!
"바로 저거야! 저 번개는 동시에 발생했어
이건 우리에게 모두 똑같지.
그러니 우리는 같은세상이야"
타인은 회심의 미소를 지었습니다.
그렇습니다. 누군가에겐 동시에 발생한 번개도
다른 사람에겐 다른 시간에 발생한 번개가 될 수 있습니다.
사람들은 혼란에 빠졌어요.
"우리가 진짜 서로 다른 세상에 살고 있는게 아닐까?"
그 때 뒤에서 조용히 이 상황을 지켜보던 두 사람이 동시에 외칩니다.
“시공간”
이 두 사람은 민코프스키와 로렌츠입니다.
재미없었나요? 전 재밌는데
말이에요. 한가지 밝힐 게 있어요.
우리가 지금까지의 여정에서 얘기했던 건
상대성 이론 중 특수 상대성 이론에 해당해요.
동일한 상대속도로 움직이는 물체 간에 나타나는 현상이죠.
아, 물론 다들 아시겠지만요.
상대적으로 움직이는 물체들 간에는
시간도 다르고, 길이도 다르고, 질량도 다르고, 동시도 다르고 다 달라버려요.
도무지 우리가 같은 세상이라고 할 수 있는게 하나도 없어요.
하지만 다행히도 똑같은 게 있어요.
바로 시공간이죠.
시간과 공간이 얽혀있는 시공간이요.
민코프스키와 로렌츠 덕분에 알게 됐죠.
우리는 오늘 특수 상대성이론을 정복하는 마지막 고개인
시공간의 로렌츠 변환을 넘을 것에요.
다들 정상에서 만나죠.
여기 2차원 공간이 있습니다.
그리고 연필이 하나 놓여 있어요.
우리는 공간에 연필을 보는 다양한 기준계를 그릴 수 있어요.
기준계에 따라
연필의 높이, 너비는 달라지지만 연필의 본질은 변하지 않죠
길이는 모두에게 똑같잖아요.
이번엔 시간과 공간이 얽혀진 2차원 시공간입니다.
이전 편을 보지 않으셨다면 먼저 보는 것을 추천드릴게요.
시공간 속 여기와 여기에서 사건이 발생했다고 해볼까요.
사건은 시간과 공간으로 정의되는 지점이죠
이 시공간 속에 우리는 여러 기준계를 그릴 수 있어요.
기준계에 따라서
누군가는 시간을 이렇게, 위치를 이렇게 생각할 거고
누군가는 시간을 이렇게, 위치를 이렇게 생각하겠죠.
하지만 연필의 길이가 같았던 것처럼
사건 사이의 간격인 시공간 간격은 모두에게 동일합니다.
서로의 시간은 다르지만, 또 공간도 다르지만, 시공간은 우리에게 똑같은 것이에요.
그럼 여기서 우리가 궁금한 것이 있습니다.
시공간 속 시간과 공간을 정하는 기준계는 어떻게 정해질까요?
너와 나의 기준계는 어떻게 달라지는 걸까요?
다시 이 상황을 생각해 볼까요?
나와 같은 위치에 있던 영석이가
동일한 속력 v로 멀어지다가 멀리 떨어진 돌에 꽝 부딪칩니다.
이것을 나의 시공간에 그려볼까요?
일단 국룰대로 직교좌표를 그립니다.
세로를 시간축인 ct, 가로를 공간축 x라고 해보죠.
이제 이 시공간에서
나의 시간은 이렇게 흐릅니다.
위치는 이렇게 변하고요.
나는 내 기준에서 정지해 있었기 때문에
시간이 지나도 위치는 그대로 고정되어 있겠죠.
세계선이 수직이 될 것에요
영석이는 나에게서 시간이 지날수록 멀어졌으니
세계선이 이런 직선형태가 됩니다.
이번엔 영석이의 시공간을 그려볼까요?
아직 나의 시공간과 영석이의 시공간은 다른 시공간이라고 해보죠
영석이에게 자신은 정지해 있었어요.
그래서 시간이 지나도 그대로 있을 거예요
하지만 영석이에게 저는 시간이 지나면 점점 멀어졌죠.
세계선의 모습이 나의 시공간과는 조금 다르네요.
그런데 우리의 시공간은 똑같다고 했잖아요.
서로 다른 세계선을 가진 두 시공간을 어떻게 하나의 시공간으로 합칠 수 있을까요?
약간 수수께끼 같아서 재밌네요.
그렇게 어렵지 않습니다.
나의 시공간을 기준으로 해볼까요?
아니 이제부터 시공간은 동일한 것이니
나의 시공간이 아니라
나의 시공간 좌표계라고 표현하는 것이 좋겠네요.
공간에 놓인 연필은 기준을 다르게 해서 보더라도 유일했던 것처럼
시공간에서 이 세계선은 나에게나 영석이에게나 동일해야 합니다.
그렇지만 영석이는 시공간 속에서 본인이 정지해 있다고 느껴야 하잖아요?
이 세계선을 영석이에겐 자신이 정지한 것으로 하려면 어떻게 해야 할까요?
네, 간단합니다.
시공간 속 영석이의 시간축이 이렇게
저의 시간축에서 회전한 것이에요.
그럼 영석이는 본인의 기준계에서 틀림없이 정지해 있는 거잖아요?
본인의 시간축을 따라 움직이니까요.
위치가 변하지 않잖아요.
영석이는 시공간을 자신의 기준계로 해석하기 때문에
영석이에게 영석이는 틀림없이 정지해 있는 거죠.
상대적으로 운동하는 물체는
시공간에서 서로의 시간축이 회전합니다.
와~ 멋있네요.
소개팅할 때 써먹으면 좋을 것 같아요.
그런데 한가지 문제가 생깁니다.
바로 빛이죠.
빛의 속력은 항상 일정하다고 했잖아요.
나에게 빛의 세계선은 이런 모습이에요.
1초가 지날 때 세로축이 c, 가로축이 c만큼 항상 대칭적으로 증가하잖아요.
이 빛은 영석이에게도 속력이 똑같잖아요.
그런데 영석이의 좌표계에서 빛의 속력은 c가 되지 않네요.
이 빛의 세계선이 어떻게 하면
영석이의 좌표계에서 빛의 속력이 될 수 있을까요?
공간축이 이렇게 회전하면 됩니다.
그럼 빛의 세계선을 기준으로 시간축과 공간축이 대칭이니까
영석이에게도 빛의 속력이 C가 되겠죠.
이것이 상대적으로 움직이는 두 물체의 시간과 공간이 왜 다른지
시공간을 보는 우리의 눈이 어떻게 다른지에 대한
민코프스키와 로렌츠의 대답입니다.
시간과 공간의 흐름이 회전한 것이에요.
찌그러졌다고 표현할까요.
시공간 속에서 나의 시간은 이렇게 흐르지만
영석이의 시간은 이렇게 흐르죠.
나의 공간은 이렇게 증가하지만
영석이의 공간은 이렇게 증가해요.
영석이의 시공간 좌표계를 수직으로 정한다면
나의 좌표계는 이렇게 회전할테고요.
상대속도가 크다면 더 많은 회전이 일어나네요.
이곳의 비율이 v/c가 되잖아요.
1초동안 세로로 c만큼 가로로 v만큼, 그렇죠?
사실 시공간 좌표계의 회전은 로렌츠 변환을 통한
엄밀한 수학적 결과입니다.
자세한 증명을 공부하고 싶은 분들은
차동우 교수님의 강의를 추천드립니다.
링크는 설명란에 넣을게요.
우리는 이 시공간 도표를 통해
상대적으로 운동하는 물체들이 사건을 보는
서로 다른 시간과 공간을 알아낼 수 있습니다.
움직이는 물체의 시간팽창, 길이수축, 동시의 상대성,
쌍둥이 역설도 이 시공간도표를 통해 볼 수 있죠.
재밌겠죠?
시공간 도표를 보는 방법은 다음 시간에 해볼까요?