[수학비타민] 충격! 수학 미제사건, 이거풀면 최소 노벨상

오늘은 영화 ‘페르마의 밀실’에 담긴 수학이야기 풀어보겠습니다.

<페르마의 밀실>은 2007년 스페인 영화로 우리나라에는 2012년 개봉됐죠.

영화 제목에 등장하는 페르마는 17세기 프랑스의 유명한 수학자로 제목이 암시하듯 이 영화는 수학과 관련이 됩니다.

 

페르마의 밀실에 다양한 수학 문제와 퀴즈가 나와 문제 풀어보는 재미가 쏠쏠한데요

일단 영화의 첫 부분을 보시겠습니다.

내용 전개의 중요한 모티브가 된 ‘골드바흐의 추측’이 나옵니다.

 

/1942년 수학자인 크리스찬 골드바흐는

짝수는 두 개의 소수를 합한 숫자란 걸 알아냈어.

모든 짝수는 두 소수의 합이다_ C. 골드바흐

 

작은 수로 보면 쉽지.

짝수인 18은 7+11, 수소의 합이지.

소수인 5+19를 하면 24

50은 13+37 등등이지

 

짝수를 말해 봐.

100, 1000

100은 83+17

1000은 521+479

훨씬 큰 숫자도 가능해.

어디 보자, 7112는 5119+1993

둘 다 소수야.

 

모든 짝수를 다 체크할 수는 없어.

숫자란 무한대니깐

그래서 법칙이 있어야 하는데, 그걸 찾는 게 수학 역사상 가장 어려운 난제야./

 

골드바흐의 추측은 아직까지 증명되지 못한 미해결 문제입니다.

대부분의 미해결 문제는 틀리지 않았다는 문제가 무엇인지 이해하는 것조차 넘사벽인 경우가 많지만,

골드바의 추측은 적어도 그 내용은 쉽게 이해할 수 있으니, 착하게 난해한 문제라 할 수 있겠죠.

 

골드바의 추측을 이해하려면 일단 소수부터 알아야 하는데요

여기서의 소수는 0.1과 같은 소수가 아니라, 1과 자기 자신만의 약수로 갖는 수, 프라임넘버를 말합니다.

“어, 그거? 솟수 아니었어?”하시는 분들 계시죠?

맞습니다.

예전에는 분수, 소수의 소수와 혼동을 방지하기 위해서 사이 시옷을 넣어서 솟수라고 했습니다.

솟수는 중학교 1학년에서 배우는데요, 이제부터 소수를 찾아보겠습니다.

 

작은 수부터 2, 3,

그 다음 4의 경우 1과 자기 자신 이외에 2를 약수로 갖죠.

그러니까 소수가 아니죠. 사실 2를 제외한 짝수는 소수가 될 수 없습니다.

5, 7 그 다음 홀수인 9는 3을 약수로 가지니까 건너뛰고

11, 13, 17, 19로 나가겠죠.

 

골드바흐의 추측은

2보다 큰 모두 짝수는

두 소수의 합으로 나타낼 수 있다는 건데,

참 간단하죠?

 

예를 들어서 8은 소수인 3과 5의 합으로 나타낼 수 있습니다.

골드바의 추측은 1742년, 그러니까 지금으로부터 277년 전, 수학자 골드바흐가 오일러에게 보낸 편지에서 시작됐습니다.

영화에서 남자 주인공인 갈루아는 짝수인 18과 24를 두 소수의 합으로 나태내주죠.

그리고는 여학생들이 말한 100과 1000도 즉석에서 답을 주고, 그러다가 주위에 있던 차 번호 7112도 거뜬히 두 소수의 합으로 나타냅니다.

 

 

Q. 18을 두 소수의 합으로 나타내는 방법은 7+11 말고도 5+13도 있는데요?

네, 맞습니다.

짝수를 두 소수의 합으로 나타내는 방법은 하나가 아니라 여러 가지가 될 수 있고

그 방법의 수를 ‘골드바흐의 수’라고 합니다.

 

18의 경우 2가지이니까 골드바흐의 수는 2입니다.

18=5+13 =7+11

18의 골드바흐의 수 =2

 

24의 경우도 3가지 방법이 있어서 골드바흐의 수는 3입니다.

24=5+19 =11+3 =17+7

24의 골드바흐의 수=3

 

 

Q. 짝수들은 소수의 합으로 나타낼 수 있으니 증명된 것 아닌가요?

짝수들을 하나하나 두 수소의 합으로 나타내보는 건 확인이지 증명이 아닙니다.

모든 짝수에 대한 일반적인 경우의 연역적인 증명은 아직 이루어지지 못했기에 미해결 문제인 것입니다.

 

 

Q. 골드바흐의 추측이 이 영화의 중요한 모티브라는데, 어떤 역할을 하나요?

영화의 스포일러가 될까봐 자세히는 말씀드리지 않겠는데요, 골드바의 추측은 워낙 유명함 미해결문제이다 보니 수많은 수학자들이 이 증명에 매달렸습니다.

이 영화에서 힐베르트라는 이름을 쓰는 수학자는 일생을 바쳐 골드바흐의 추측을 증명하기 위해 노력해왔고, 또 영화 장면에서 보셨던 갈루아 역시 그 증명을 시도합니다.

 

그러니까 영화에서 벌어지는 비극적 상황의 발단은 바로 골드바흐의 추측의 증명을 둘러싼 주도권 다툼이죠.

 

 

<페르마의 밀실>은 아주 짜임새 있게 구성된 영화로 마지막까지 손에 땀을 쥐게 합니다.

자녀들과 영화 보시면서 골드바흐의 추측에 대해 이야기 나누시는 것 강추합니다.

 

만약 이걸 증명한다면 수학의 노벨상이라 부르는 필즈상을 받을 수 있다는 격려, 잊지 마셔야죠?

필즈상은 매년 수상하는 노벨상과 달리 4년에 한 번씩 주고, 또 연령 제한이 없는 노벨상과는 달리 만 40세 미만인 경우만 수상자격이 있습니다.

 

얼마 전 종영한 드라마 스카이 캐슬에 옥의 티가 있는데요, 19회에서 입시 코디인 김주영 쌤의 대학동기가 필즈상을 받는 것으로 나오는데, 여러 정황을 고려할 때 김주영 쌤의 나이는 만 40이 넘기 때문에 필즈상을 받는 건 불가능하겠죠.

 

또 다른 에피소드로 돌아오겠습니다.

커밍 쑨!