[수학비타민] 음악을 수학으로 풀이할 수 있다?

박경미TV에 피아노 연주가 나와서 깜짝 놀라셨죠.

음정을 설명하기 위해 뮤지컬 Cats의 대표곡 Memory를 쳐봤습니다.

 

뮤지컬에서 불쌍한 고양이 그리자벨라가 아련한 추억을 떠올리며 부르는 메모리

이처럼 감미로운 음악도 수학적으로 분석할 수 있는데요

 

19세기 영국의 수학자 실베스터는

‘수학은 이성의 음악이고, 음악은 감성의 수학’ 이라고 말한 바 있습니다.

 

소리의 높낮이는 진동수에 의해 결정되고

진동수는 현의길이에 반비례합니다.

 

고대 그리스의 수학자 피타고라스는 대장간 앞을 지나다가

망치의 길이와 음의 높이, 그리고 그 중에 어울리는 음이 있다는 사실을 알아냅니다.

 

현의 길이를 1/2로 줄이면 진동수가 2배가 되면서 한 옥타브 높은 음이 난다는 것을 발견한 겁니다.

또 현에 길이를 2/3배 하면 도와 솔처럼 5도 높은 음이라고

현의 길이를 3/4배하면 ‘도’와 ‘파’처럼 4도 높은 음이 납니다.

 

이런 방식으로 한 옥타브를 이루고 있는 음들의 현의 길이를 정할 수 있습니다.

그런데 이 값들은 좀 복잡하죠.

 

그래서 그리스의 천문학자이자 수학자의 프토레마이오스는

피타고라스가 만들어낸 현의길이의 값을 단순화해서 개선된 순정률을 내놓습니다.

 

이런 순정룰은 현악기에서 광범위하게 쓰이는데요

한 가지 단점이 있습니다.

 

음정 사이의 비가 비슷하기는 하지만 완전하게 같지는 않다 보니까

조바꿈을 할 때 어려움으로 작용하는 거죠.

 

이런 문제점을 보안해서

그 비가 일정하게 만든 것이 건반 악기에서 사용되는 평균율 입니다.

평균율 이론을 정립해서 보급한 음악가가 바로 요한 세바스찬 바흐 인데요

바흐는 한곡 내에서 여러 번 자유롭게 조옮김을 함으로써 평균율의 진가를 보여주었습니다.

 

 

평균 10에서 진동수의 비를 걸 볼까요?

기준이 되는 도에서 한 옥타브 위의 도까지는 ‘도-도#-레-레#-미-파-파#-솔-솔#-라-라#-시-도’까지 12단계입니다.

 

인접한 두음 사이의 진동수의 B를 X라 할 때, X를 12번 곱하면

그러니까 X의 12 제곱은 2가 되어야 합니다.

따라서 진동수의 비 X는 12√2 약 1.0595가 됩니다.

 

 

Q1. 음악도 삼각함수로 표현할 수 있다고 하는데요?

소리를 결정하는 것은 음의 고저, 세기, 음색의 3가지 요소입니다.

음의 고저, 높낮이는 진동수와 관련되고, 음의 세기는 진폭의 의해 결정됩니다.

그리고 음색은 파동을 이루는 사인함수나 코사인함수와 관련 되죠.

결국 음악 소리도 사인함수와 코사인함수의 합으로 표현할 수 있는데요

감성의 결정체인 음악이 드라이한 수식으로 표현된다는 게 신기하죠?

 

 

Q2. 동양에서는 어떻게 음계를 구성했나요?

중국과 우리나라에서는 삼분손익법을 이용해서 음계를 구성했습니다.

삼분손익법에서는 삼분손일과 삼분익일을 교대로 적용하는데요

삼분손일은 삼분, 셋으로 나누고,

손일, 그 중의 일을 덜어낸다.

 

즉, 1에서 1/3을 빼서 2/3배 하는 것이고

삼분익일은 1에 1/3을 더해 4/3배 하는 것입니다.

이 방법을 적용해서 구한 12개의 음을 ‘12율’이라고 합니다.

 

 

오늘은 수학과 음악에 대해 알아보았는데요,

All is number

모든 게 수라는 피타고라스의 말이 실감나시죠?

 

흥미로운 주제로 곧 돌아오겠습니다.

커밍 쑨~