[수학비타민] 지도 색칠 속 숨겨진 수학 난제

어렸을 때 색칠하기 많이 하셨죠?

요즘에는 어른용 컬러링 북도 많은데요

우리를 동심으로 데려다주는 색칠하기

오늘은 그 속에 담긴 수학을 알아보겠습니다.

 

지도에 색칠을 할 때 인접한 지역이 다른 색이 되도록 하려면 최소 몇 가지 색이 필요할까요?

서초구 지도입니다.

제가 더불어민주당 지역위원장을 맡고 있죠.

가장 남쪽의 내곡동을 파란색으로 칠하고

인접한 양재2동은 빨간색으로, 양재1동은 다시 파란색으로, 그 다음 서초2동은 빨간색,

서초1동은 파란색도 아닌 빨간색도 아닌 새로운 색이어야죠.

이런 식으로 계속해본 3가지 색만 있으면 지도를 색칠할 수 있습니다.

 

이번에는 우리나라 지도, 역시 3가지 색이면 충분합니다.

그럼 어떤 지도라도 3가지 색이면 될까요?

아닙니다.

미국지도, 세계 지도를 칠하려면 4가지 색이 필요합니다.

 

그러면 세상의 모든 지도는 4가지 색이면 충분할까요?

이런 의문을 갖기 시작한 건 1852년 영국의 대학원생 구드리입니다.

그는 영국 지도를 색칠하다가

‘지도상에서 인접한 영역을 서로 다른 색으로 칠하기 위해서는 최소 몇 가지 색이 필요할까?’ 라는 의문을 갖게 됐습니다.

영국 지도의 경우 4가지 색으로 가능한데, 지도의 모양이 복잡해지면 어떻게 될지 확신이 없었습니다.

 

구드리는 수학자 드모르간에게 문의를 했지만, 증명을 찾지 못했고,

드모르간은 당대의 또 다른 수학자 헤밀턴에게 편지를 써서 도움을 요청합니다.

이렇게 시작된 4색 문제는 점차 세상에 알려지면서 많은 에피소드를 만들어냅니다.

 

19세기 최고의 수학자 중에 한 사람인 민코프스키는 4색 문제를 만만하게 보고

금방 풀 수 있다고 호언장담했습니다.

하지만, 얼마지 않아

“하늘이 나의 오만함에 화가 난 것 같다. 내 증명에는 오류가 있다”고 실패를 인정했습니다.

 

결국 이 문제는 1976년 미국 일리노이 대학의 아펠과 하켄이 새로운 방법으로 해결합니다.

컴퓨터를 1200시간 동안 쉬지 않고 돌려서 지도를 1936가지 경우로 유형화하고, 각 유형에 대해 4가지 색이면 충분하다는 것을 확인한 겁니다.

 

이후 4색 문제 Four color Problum는

4색 정리 Four color Theorem으로 불리게 되는데요

이런 아펠과 하켄의 증명을 기리기 위해 일리노이 대학교가 위치한 어바나 시는

FOUR COLOR SUFFICE ‘4가지 색이면 충분하다’는 우편소인을 찍기도 했습니다.

 

 

Q1. 컴퓨터를 이용해서 확인한 것도 증명인가요?

4색 문제, 120년 넘게 난공불락으로 남아 있던 이 문제는 결국 컴퓨터를 이용해서 풀린 건데, 인간의 두뇌가 아닌 컴퓨터를 이용한 증명을 인정해야 하는지에 대한 논쟁은 여전히 있습니다.

 

 

Q2. 4색 문제는 일본 영화 용의자 X의 헌신에도 등장하지 않나요?

네, 영화의 디테일까지 기억하시는군요.

히가시노 게이고의 소설을 영화한 ‘용의자 X의 헌신’은 우리나라에서 ‘용의자X’로 리메이커 되기도 했는데요,

영화에서 수학교사 이시가미는 살인사건의 용의자이고, 물리학자 유카와는 이 사건을 푸는 교수로 나옵니다.

 

이 둘은 대학 동창으로 과거를 회상합니다.

이시가미는 교정 벤치에 앉아서 4색 문제의 증명에 몰두하고 있고

유카타는 그 증명이 이미 이루어지지 않았느냐고 묻자 이시가미는 컴퓨터가 아닌 인간의 두뇌를 이용한 아름다운 증명 방법을 찾고 있다고 답합니다.

 

 

지도색칠하기라는 단순한 호기심에서 시작한 4색 정리

그 문제가 풀리기까지 실패한 증명들이 다수 나타났는데

그런 실패는 수학의 연구를 촉진시키고 새로운 분야를 개척하는데 크게 기여했습니다.

 

곧 재미난 이야기로 돌아오겠습니다.

커밍 쑨~